1950: La trampa exponencial

Conocer algo de forma meramente cualitativa es conocerlo de manera vaga. Si tenemos conocimiento cuantitativo – captando alguna medida numérica que lo distinga de un número infinito de otras posibilidades – estamos comenzando a conocerlo en profundidad, comprendemos algo de su belleza y accedemos a su poder y al conocimiento que proporciona. El miedo a la cuantificación supone limitarse, renunciar a una de las perspectivas más firmes para entender y cambiar el mundo.

Carl Sagan

 

Carlos Merenson

En la posguerra el sistema capitalista ingresó en una fase de expansión que se inició en EE.UU. cuya sociedad se transformó en el modelo de modernidad y prosperidad, basado en un consumismo desenfrenado. A partir de la década del año 1950 la mayor parte de las actividades de producción y consumo comenzaron a crecer exponencialmente. Década que bien puede ser identificada como un punto de inflexión en cuanto al aumento de las actividades humanas y de los impactos sobre el ambiente.

A manera de ejemplo veamos los siguientes gráficos elaborados por el “Programa Internacional Geosfera – Biosfera” (IGBP)[1].

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Pero no solo crecieron los símbolos de la modernidad, también lo hicieron las consecuencias de tanta “prosperidad”.

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Como se ve en los gráficos presentados la figura que mejor se asemeja al crecimiento exponencial es la de un palo de hockey, en tanto comienza a crecer a un ritmo lineal normal y luego, una vez que alcanza un punto de inflexión crece en forma explosiva. Pero conviene intentar una aproximación mas amplia a está forma particular de crecimiento que usualmente pasa desapercibida para el común de la gente.exponencial

Antes de una explicación detallada de la función exponencial y a manera de introducción al tema, recordemos un antiguo relato que la describe perfectamente. Se trata del origen del juego de ajedrez que registra numerosas versiones, una de ellas es la que Carl Sagan ofrece en su libro Miles de Millones bajo el título: El Ajedrez Persa:

La primera vez que escuché este relato, la acción transcurría en la antigua Persia. Pero pudo haber sido en la India o incluso en China. En cualquier caso, sucedió hace mucho tiempo.

El gran visir, el primer consejero del rey, había inventado un nuevo juego. Se jugaba con piezas móviles sobre un tablero cuadrado formado por 64 escaques rojos y negros. La pieza más importante era el rey. La seguía en valor el gran visir (tal como cabía esperar de un juego inventado por un gran visir). El objeto del juego era capturar el rey enemigo y, a consecuencia, recibió en lengua persa el nombre de shah-mat (shah por «rey», mat por «muerto»). Muerte al rey. En Rusia, quizá como vestigio de un sentimiento revolucionario, sigue llamándose shajmat. Incluso en inglés hay un eco de esta designación: el movimiento final recibe el nombre de checkmate (Naturalmente, ese eco existe también en el término castellano de «jaque mate» N. del T.). El juego es, por descontado, el ajedrez. Con el paso del tiempo evolucionaron las piezas, los movimientos y las reglas. Ya no existe, por ejemplo, el gran visir; se ha transfigurado en una reina de poderes formidables.

Por qué deleitó tanto a un rey la invención de un juego llamado «muerte al rey» es un misterio, pero, según la historia, se sintió tan complacido que pidió al gran visir que determinara su recompensa por tan maravillosa invención. Éste ya tenía la respuesta preparada; era un hombre modesto, explicó al shah, y sólo deseaba una modesta gratificación. Señalando las ocho columnas y las ocho filas de escaques del tablero que había inventado, solicitó que le entregase un solo grano de trigo por el primer escaque, dos por el segundo, el doble de eso por el tercero y así sucesivamente hasta que cada escaque recibiese su porción de trigo. No, replicó el rey, era un premio harto mezquino para una invención tan importante. Le ofreció joyas, bailarinas, palacios. Pero el gran visir, bajando la mirada, lo rechazó todo. Sólo le interesaban aquellos montoncitos de trigo. Así que, maravillado en secreto ante la humildad y la moderación de su consejero, el rey accedió.

exponen10Sin embargo, cuando el senescal empezó a contar los granos, el monarca se encontró con una desagradable sorpresa. Al principio el número de granos de trigo era bastante pequeño: 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256, 512, 1.024…, pero en las cercanías del escaque sexagésimo cuarto las cifras se tornaban colosales, amedrentadoras (véase recuadro de la página 31). De hecho, el número final rondaba los 18,5 trillones de granos. Tal vez el gran visir se había sometido a una dieta rica en fibra.

¿Cuánto pesan 18,5 trillones de granos de trigo? Si cada grano mide un milímetro, entonces todos juntos pesarían unos 75.000 millones de toneladas métricas, mucho más de lo que podían contener los graneros del shah. De hecho, es el equivalente de la producción actual de trigo en todo el mundo multiplicada por 150. No nos ha llegado el relato de lo que pasó inmediatamente después. Ignoramos si el rey, maldiciéndose a sí mismo por haber desatendido el estudio de la aritmética, entregó el reino al visir o si éste experimentó las tribulaciones de un nuevo juego llamado visirmat.

El Dr. Albert Bartlett en su conferencia Aritmética, población y energía propone una explicación simple para comprender qué es una función exponencial:

…espero…convencerlos que el más grande defecto de la raza humana es nuestra incapacidad de entender la función exponencial.

Ustedes se preguntarán, ¿cuál es la función exponencial?

Es una función matemática que usarían si fueran a describir el tamaño de algo que crece sostenidamente. Si tuvieran algo que creciera a un 5% anual, escribirían la función exponencial para mostrar qué tan grande es la tasa de crecimiento año tras año. Entonces estamos hablando de una situación donde los requerimientos necesarios para que la tasa de crecimiento aumente a una fracción fija es un constante 5% anual. El 5% es una fracción fija, los tres años son una determinada cantidad de tiempo. Por lo tanto es esto de lo que queremos hablar. Es sólo crecimiento ordinario sostenido.

Si nos toma una determinada cantidad de tiempo crecer 5%, entonces toma un periodo más largo de tiempo crecer a un 100%. Ese tiempo más largo se conoce como tiempo de duplicación y necesitan saber cómo calcularlo. Es fácil.

Sólo tomen el número 70, divídanlo entre el porcentaje de crecimiento por unidad de tiempo y eso les da el tiempo de duplicación. Entonces si nuestro ejemplo de 5% anual lo dividen entre 70, encontrarán que la cantidad de crecimiento se duplicará en tamaño cada 14 años.

Bien, se preguntarán de dónde vino ese 70, la respuesta es aproximadamente 100 multiplicado por el logaritmo natural de 2. Si quisieran saber el tiempo que toma triplicarlo usarían el ritmo del logaritmo natural de 3. Por lo tanto es muy lógico, no tienen que recordar de dónde vino, sólo recuerden el 70.

Me gustaría que pudiéramos lograr que cada persona hiciera éste cálculo mental cada que veamos un porcentaje de crecimiento de cualquier cosa en las noticias. Por ejemplo, si vieran una historia que dice que cosas tristes han crecido en un 7% anual durante varios años, no moverían ni una pestaña. Pero cuando ven un encabezado que dice que el crimen se ha duplicado en una década dirían ¡dios mío qué está pasando!

¿Qué está pasando? Un crecimiento de 7% anual, dividan 7 entre 70, el tiempo en que se duplica es diez años. Pero dense cuenta que si quieren escribir un encabezado que llame la atención de la gente, nunca escribirían que el crimen está creciendo 7% anual, nadie sabría lo que significa. Ahora, ¿saben lo que ése siete por ciento significa?

exponencial 2Pero no solo se puede crecer exponencialmente, también se puede decrecer de la misma manera y esto es particularmente importante cuando consideramos la cuestión de las reservas finitas de recursos naturales. En su conferencia Bartlett demuestra ingeniosamente qué pasa cuando tenemos este tipo de crecimiento sostenido en un ambiente finito.

bacteriasLas bacterias crecen por duplicación. Una bacteria se divide para crear dos, ésas se dividen para crear cuatro, se convierten en ocho, dieciséis y así sucesivamente. Supongamos que una bacteria se duplique cada minuto, que la ponemos en una botella vacía a las 11 de la mañana y observamos que la botella está llena al mediodía. Ahí tenemos nuestro caso del crecimiento sostenido ordinario, tiene un tiempo de duplicación de un minuto en un ambiente finito como la botella. Ahora quiero hacerles tres preguntas:

Número uno, ¿a qué hora se llenó la botella a la mitad? Bien, creerán que fue a las 11:59, un minuto antes de las 12, porque se duplican en número cada minuto.

Segunda pregunta, si fueran una bacteria promedio en esa botella ¿a qué hora se darían cuenta que se está agotando su espacio? Echemos un vistazo al último minuto en la botella. A las doce del día estaba llena, un minuto antes está medio llena, dos minutos antes ¼ menos que 1/8 que 1/16. Déjenme preguntar, 5 minutos antes de las 12 cuando la botella está llena al 3% y el 97% de su espacio está disponible para su desarrollo, ¿cuántos de ustedes se darían cuenta de que hay un problema?

exponen8Los hielos del Ártico, por ejemplo, están experimentando un decrecimiento exponencial. Comparando recientes temporadas de deshielo con los registros históricos que abarcan más de 1400 años vemos que los hielos del mar Ártico se encuentran en caída libre. Muchos científicos creen que el Océano Ártico quedará libre de hielo en verano en una o dos décadas más, y algunos dicen que esto podría ocurrir antes (estimando el 2016). La última vez que el Ártico quedó completamente libre de hielo en verano fue hace 125.000 años.

El siguiente cuadro ilustra muy bien el efecto que tiene un crecimiento exponenecial en el uso de los recursos naturales sobre su tiempo de vida.

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Un recurso no renovable que a la tasa actual de consumo tendría 10.000 años de tiempo de vida, con una tasa anual de crecimiento del 10% reduce su tiempo de vida a tan solo 69 años.

Por otra parte, se debe tener en cuenta que, físicamente, la función exponencial SIEMPRE es transitoria y las posibles “salidas” de un crecimiento exponencial son: una sigmoide, oscilaciones o colapso.

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Algunas importantes conclusiones:

  1. Tasas modestas de crecimiento continuo de un número de cosas acaban dando rápidamente cantidades colosales.
  2. La tasa de crecimiento de la población nos llevan a cifras monstruosas en periodos relativamente cortos.
  3. El crecimiento continuo aplicado al consumo de recursos no renovables lleva a su rapidísimo agotamiento.
  4. LA MAYORÍA DE LA GENTE NO TIENE LA MENOR IDEA DE LOS EFECTOS DEL CRECIMIENTO CONTINUO.

[1] Disponible en: (http://www.igbp.kva.se/). Para un mayor detalle de los gráficos ver: http://en.wikipedia.org/wiki/Global_change

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